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28. Categorical Logic - Categorical Syllogisms

 

Summary​

Zusammenfassung

This lecture finally puts the earlier groundwork of categorical logic to work by analyzing arguments in the form of categorical syllogisms. A syllogism is a standard form of deductive argument in which a conclusion is inferred from two premises. A categorical syllogism specifically consists of three categorical propositions and contains exactly three terms. Each term keeps the same meaning throughout the argument, and each term appears in exactly two of the propositions. (Recall that any single categorical proposition contains only two terms: a subject and a predicate.)

Diese Vorlesung setzt die frühere Grundlagenarbeit der kategorialen Logik endlich in die Tat um, indem sie Argumente in Form von kategorialen Syllogismen analysiert. Ein Syllogismus ist eine Standardform des deduktiven Arguments, in der eine Schlussfolgerung aus zwei Prämissen erschlossen wird. Ein kategorialer Syllogismus besteht speziell aus drei kategorialen Propositionen und enthält genau drei Terme. Jeder Term behält im ganzen Argument dieselbe Bedeutung, und jeder Term erscheint in genau zwei der Propositionen. (Erinnere dich, dass eine einzelne kategoriale Proposition nur zwei Terme enthält: ein Subjekt und ein Prädikat.)

A Worked Example​

Ein durchgerechnetes Beispiel

Consider: Premise 1, "No logicians are people who embrace contradiction"; Premise 2, "Some teachers are people who embrace contradiction"; Conclusion, "Therefore, some teachers are not logicians." Here logicians appears in Premise 1 and the conclusion, teachers appears in Premise 2 and the conclusion, and people who embrace contradiction appears once in each premise. The goal is to determine whether such a syllogism is valid, meaning structured so that if the premises are true the conclusion could not possibly be false.

Betrachte: Prämisse 1, „Keine Logiker sind Menschen, die den Widerspruch umarmen"; Prämisse 2, „Einige Lehrer sind Menschen, die den Widerspruch umarmen"; Schlussfolgerung, „Also sind einige Lehrer keine Logiker". Hier erscheint Logiker in Prämisse 1 und der Schlussfolgerung, Lehrer erscheint in Prämisse 2 und der Schlussfolgerung, und Menschen, die den Widerspruch umarmen erscheint einmal in jeder Prämisse. Das Ziel ist zu bestimmen, ob ein solcher Syllogismus gültig ist, also so aufgebaut, dass, wenn die Prämissen wahr sind, die Schlussfolgerung unmöglich falsch sein könnte.

Distribution​

Verteilung (Distribution)

Before testing validity, we need the concept of distribution. Distribution is an attribute of a term (subject or predicate) describing its relationship to the entire class it denotes. A term is distributed when it refers to the whole class; otherwise it is undistributed. Note the contrast: terms have distribution, whereas propositions have quantity (universal or particular).

Bevor wir die Gültigkeit prüfen, brauchen wir den Begriff der Verteilung. Verteilung ist ein Attribut eines Terms (Subjekt oder Prädikat), das seine Beziehung zur gesamten Klasse beschreibt, die er bezeichnet. Ein Term ist verteilt, wenn er sich auf die ganze Klasse bezieht; andernfalls ist er unverteilt. Beachte den Gegensatz: Terme haben Verteilung, während Propositionen Quantität haben (universell oder partikulär).

The subject's distribution is easy to spot from the quantifier: it is distributed after all or no, and undistributed after some. The predicate gives no such clue, so it is easiest to memorize the pattern: universals distribute their subjects, and negatives distribute their predicates. Applied to the four proposition types:

Die Verteilung des Subjekts ist leicht am Quantor zu erkennen: Es ist nach alle oder kein verteilt und nach einige unverteilt. Das Prädikat gibt keinen solchen Hinweis, daher ist es am einfachsten, sich das Muster einzuprägen: Universelle verteilen ihre Subjekte, und verneinende verteilen ihre Prädikate. Angewandt auf die vier Propositionstypen:

  • A (universal affirmative): subject distributed only.
  • E (universal negative): both subject and predicate distributed.
  • I (particular affirmative): nothing distributed.
  • O (particular negative): predicate distributed only.
  • A (universell bejahend): nur das Subjekt verteilt.
  • E (universell verneinend): sowohl Subjekt als auch Prädikat verteilt.
  • I (partikulär bejahend): nichts verteilt.
  • O (partikulär verneinend): nur das Prädikat verteilt.

Major, Minor, and Middle Terms​

Ober-, Unter- und Mittelbegriff

A lone proposition has no major, minor, or middle term, but a syllogism does. The major term is the predicate of the conclusion, and the premise containing it is the major premise. The minor term is the subject of the conclusion, found in the minor premise. The remaining term, which appears in both premises but never in the conclusion, is the middle term. The middle term is structurally the most important: it links the two premises and makes inference to a conclusion possible.

Eine einzelne Proposition hat keinen Ober-, Unter- oder Mittelbegriff, ein Syllogismus aber schon. Der Oberbegriff ist das Prädikat der Schlussfolgerung, und die Prämisse, die ihn enthält, ist die Oberprämisse. Der Unterbegriff ist das Subjekt der Schlussfolgerung, zu finden in der Unterprämisse. Der verbleibende Term, der in beiden Prämissen erscheint, aber nie in der Schlussfolgerung, ist der Mittelbegriff. Der Mittelbegriff ist strukturell der wichtigste: Er verbindet die beiden Prämissen und macht den Schluss auf eine Schlussfolgerung möglich.

The Four Rules of Validity​

Die vier Regeln der Gültigkeit

With these pieces in place, testing validity reduces to applying four rules.

Wenn diese Teile vorhanden sind, reduziert sich die Gültigkeitsprüfung auf das Anwenden von vier Regeln.

Rule 1 - Three terms only. A syllogism must contain exactly three terms. More than three commits the fallacy of equivocation (the four-term fallacy). Sometimes this is obvious nonsense, but it can hide. In "All heroes are demigods; Martin Luther King Jr. is a hero; therefore MLK is a demigod," hero is used equivocally: a mythical god-parent in Premise 1, a modern self-sacrificing person in Premise 2. That yields four terms, no genuine middle term, and so no real connection.

Regel 1 – Nur drei Terme. Ein Syllogismus muss genau drei Terme enthalten. Mehr als drei begeht den Fehlschluss der Äquivokation (den Vier-Begriffe-Fehlschluss). Manchmal ist dies offensichtlicher Unsinn, aber er kann sich verbergen. In „Alle Helden sind Halbgötter; Martin Luther King Jr. ist ein Held; also ist MLK ein Halbgott" wird Held äquivok verwendet: ein mythischer Gottvater in Prämisse 1, eine moderne, sich aufopfernde Person in Prämisse 2. Das ergibt vier Terme, keinen echten Mittelbegriff und somit keine echte Verbindung.

Rule 2 - The middle term must be distributed at least once. If it is not, there is no guarantee the major and minor terms connect. Violating this is the fallacy of the undistributed (illicit) middle. Example: "All Baptists are baptized; all Catholics are baptized; therefore all Catholics are Baptists." Both premises are A propositions, whose predicates (the middle term baptized) are undistributed, so the conclusion does not follow. The same hidden form drives arguments like "The Democratic Party supports health-care reform; socialists support health-care reform; therefore the Democratic Party is socialist."

Regel 2 – Der Mittelbegriff muss mindestens einmal verteilt sein. Ist er es nicht, gibt es keine Garantie, dass Ober- und Unterbegriff sich verbinden. Dies zu verletzen ist der Fehlschluss des unverteilten (unerlaubten) Mittelbegriffs. Beispiel: „Alle Baptisten sind getauft; alle Katholiken sind getauft; also sind alle Katholiken Baptisten". Beide Prämissen sind A-Propositionen, deren Prädikate (der Mittelbegriff getauft) unverteilt sind, sodass die Schlussfolgerung nicht folgt. Dieselbe verborgene Form treibt Argumente wie „Die Demokratische Partei unterstützt die Gesundheitsreform; Sozialisten unterstützen die Gesundheitsreform; also ist die Demokratische Partei sozialistisch".

Rule 3 - Any term distributed in the conclusion must be distributed in the premises. If a conclusion has no distributed terms, that is fine; the rule only constrains those that are. Violations produce the fallacy of illicit major (major term distributed in the conclusion but not the premise) or the fallacy of illicit minor (same for the minor term). You cannot infer all of something from only some of it. Example: "All dogs are mammals; no cats are dogs; therefore no cats are mammals." The conclusion is an E, distributing both terms. Cats is distributed in the minor premise (fine), but mammals is the predicate of an A major premise and is undistributed there: an illicit major.

Regel 3 – Jeder in der Schlussfolgerung verteilte Term muss in den Prämissen verteilt sein. Wenn eine Schlussfolgerung keine verteilten Terme hat, ist das in Ordnung; die Regel schränkt nur die verteilten ein. Verletzungen erzeugen den Fehlschluss des unerlaubten Oberbegriffs (Oberbegriff in der Schlussfolgerung verteilt, aber nicht in der Prämisse) oder den Fehlschluss des unerlaubten Unterbegriffs (dasselbe für den Unterbegriff). Man kann nicht von nur einem Teil von etwas auf das Ganze schließen. Beispiel: „Alle Hunde sind Säugetiere; keine Katzen sind Hunde; also sind keine Katzen Säugetiere". Die Schlussfolgerung ist eine E, die beide Terme verteilt. Katzen ist in der Unterprämisse verteilt (in Ordnung), aber Säugetiere ist das Prädikat einer A-Oberprämisse und dort unverteilt: ein unerlaubter Oberbegriff.

Rule 4 - The number of negative premises must equal the number of negative claims in the conclusion. Since the conclusion is a single proposition, this implies you cannot draw a valid conclusion from two negative premises, and you cannot get a negative conclusion from two affirmative premises. Example: "No war is meant to be fun; no government action is meant to be fun; therefore no war is a government action." Two negative premises, one negative conclusion (1 + 1 = 1) is invalid. Both terms are merely excluded from "things meant to be fun," so their relationship to each other remains unknown.

Regel 4 – Die Zahl der verneinenden Prämissen muss der Zahl der verneinenden Behauptungen in der Schlussfolgerung entsprechen. Da die Schlussfolgerung eine einzelne Proposition ist, bedeutet dies, dass man aus zwei verneinenden Prämissen keine gültige Schlussfolgerung ziehen kann und aus zwei bejahenden Prämissen keine verneinende Schlussfolgerung erhält. Beispiel: „Kein Krieg ist zum Spaß gedacht; keine Regierungshandlung ist zum Spaß gedacht; also ist kein Krieg eine Regierungshandlung". Zwei verneinende Prämissen, eine verneinende Schlussfolgerung (1 + 1 = 1) ist ungültig. Beide Terme werden bloß aus den „zum Spaß gedachten Dingen" ausgeschlossen, sodass ihre Beziehung zueinander unbekannt bleibt.

A Translation Trap​

Eine Übersetzungsfalle

Finally, a deceptive case: "Peter loves Mary Jane; Harry loves Peter; therefore Harry loves Mary Jane." Treating the personal names as classes of one, it appears to pass all four rules, yet it sounds wrong. The problem is translation. Properly rendered, the terms are Peter, Harry, person who loves Mary Jane, and person who loves Peter: four terms, violating Rule 1. The lesson is that careful translation into standard form is essential before testing validity.

Schließlich ein täuschender Fall: „Peter liebt Mary Jane; Harry liebt Peter; also liebt Harry Mary Jane". Behandelt man die Personennamen als Klassen von einem, scheint es alle vier Regeln zu bestehen, und doch klingt es falsch. Das Problem ist die Übersetzung. Richtig wiedergegeben, sind die Terme Peter, Harry, Person, die Mary Jane liebt und Person, die Peter liebt: vier Terme, was Regel 1 verletzt. Die Lektion ist, dass eine sorgfältige Übersetzung in die Standardform wesentlich ist, bevor man die Gültigkeit prüft.

The video closes by noting that categorical propositions are not the only kind. The next installment shifts to propositional logic, beginning with the language of symbolization.

Das Video schließt mit dem Hinweis, dass kategoriale Propositionen nicht die einzige Art sind. Die nächste Folge wechselt zur Aussagenlogik und beginnt mit der Sprache der Symbolisierung.