26. Categorical Logic - The Basics

Summary

Zusammenfassung

This episode opens the study of categorical logic, the oldest branch of formal logic, reaching back to Aristotle and the ancient Greeks. Like mathematics, deductive logic must be built from the ground up: you cannot test the validity of a categorical syllogism before mastering its building blocks.

Diese Folge eröffnet das Studium der kategorialen Logik, des ältesten Zweigs der formalen Logik, der bis zu Aristoteles und den alten Griechen zurückreicht. Wie die Mathematik muss die deduktive Logik von Grund auf aufgebaut werden: Man kann die Gültigkeit eines kategorialen Syllogismus nicht prüfen, bevor man seine Bausteine beherrscht.

Categorical Propositions and the Four Types

Kategoriale Propositionen und die vier Typen

Categorical propositions are the building blocks of the syllogism. They are statements about relationships among classes (categories) of things, affirming or denying that one class is wholly or partially included in another. Because a proposition can either affirm or deny (quality) and do so wholly or partially (quantity), there are exactly four subtypes:

Kategoriale Propositionen sind die Bausteine des Syllogismus. Sie sind Aussagen über Beziehungen zwischen Klassen (Kategorien) von Dingen, die bejahen oder verneinen, dass eine Klasse ganz oder teilweise in einer anderen enthalten ist. Da eine Proposition entweder bejahen oder verneinen kann (Qualität) und dies ganz oder teilweise tun kann (Quantität), gibt es genau vier Untertypen:

A – universal affirmative ("All dogs are mammals")
E – universal negative ("No dogs are cats")
I – particular affirmative ("Some dogs are wolves")
O – particular negative ("Some dogs are not wolves")

A – universell bejahend („Alle Hunde sind Säugetiere")
E – universell verneinend („Keine Hunde sind Katzen")
I – partikulär bejahend („Einige Hunde sind Wölfe")
O – partikulär verneinend („Einige Hunde sind keine Wölfe")

Medieval logicians drew these letters from the Latin words affirmo ("I affirm," giving A and I) and nego ("I deny," giving E and O).

Mittelalterliche Logiker leiteten diese Buchstaben aus den lateinischen Wörtern affirmo („ich bejahe", was A und I ergibt) und nego („ich verneine", was E und O ergibt) ab.

The Four Parts of a Proposition

Die vier Teile einer Proposition

Propositions themselves break down into four more fundamental parts:

Propositionen selbst zerfallen in vier grundlegendere Teile:

The subject term — what the assertion is about (in "All dogs are mammals," dogs).
The predicate term — what is asserted about the subject (mammals).
The copula — the verb joining subject and predicate, which in logic is always a form of to be (is/are, is not/are not, in any tense). The copula determines quality.
The quantifier — the word indicating extent: all or some. It determines quantity. In a universal negative, the word no stands in for both the quantifier all and the negative part of the copula.

Der Subjektterm — worum es in der Aussage geht (in „Alle Hunde sind Säugetiere" die Hunde).
Der Prädikatterm — was über das Subjekt ausgesagt wird (Säugetiere).
Die Kopula — das Verb, das Subjekt und Prädikat verbindet, das in der Logik immer eine Form von sein ist (ist/sind, ist nicht/sind nicht, in jeder Zeitform). Die Kopula bestimmt die Qualität.
Der Quantor — das Wort, das den Umfang angibt: alle oder einige. Er bestimmt die Quantität. In einer universell verneinenden Aussage vertritt das Wort kein sowohl den Quantor alle als auch den verneinenden Teil der Kopula.

Every categorical proposition therefore has both quality (affirmative or negative, the only two options) and quantity (universal, the whole class, or particular, some portion of the class).

Jede kategoriale Proposition hat daher sowohl Qualität (bejahend oder verneinend, die einzigen zwei Optionen) als auch Quantität (universell, die ganze Klasse, oder partikulär, ein Teil der Klasse).

Euler Circles

Euler-Kreise

The relationships between subject and predicate can be pictured with Euler circles, named after the 18th-century mathematician Leonhard Euler. There are only five possible diagrams:

Die Beziehungen zwischen Subjekt und Prädikat lassen sich mit Euler-Kreisen darstellen, benannt nach dem Mathematiker des 18. Jahrhunderts Leonhard Euler. Es gibt nur fünf mögliche Diagramme:

A ("All A is B") uses two diagrams: A and B coinciding completely, or A entirely contained within B.
I ("Some A is B") can be shown in four ways: the two A-diagrams plus partial overlap (resembling a Venn diagram) and B contained within A.
E ("No A is B") uses a fifth diagram: two wholly separate circles.
O ("Some A is not B") is already covered by diagrams three through five.

A („Alle A sind B") verwendet zwei Diagramme: A und B fallen vollständig zusammen, oder A ist ganz in B enthalten.
I („Einige A sind B") kann auf vier Weisen gezeigt werden: die beiden A-Diagramme plus teilweise Überlappung (die einem Venn-Diagramm ähnelt) und B in A enthalten.
E („Kein A ist B") verwendet ein fünftes Diagramm: zwei völlig getrennte Kreise.
O („Einige A sind nicht B") wird bereits durch die Diagramme drei bis fünf abgedeckt.

A key insight: because some can mean any amount up to and including all, the same diagrams that illustrate an A proposition also illustrate an I proposition. Thus if all dogs are mammals, it is also true that some dogs are mammals.

Eine wichtige Einsicht: Da einige jede Menge bis einschließlich alle bedeuten kann, veranschaulichen dieselben Diagramme, die eine A-Proposition darstellen, auch eine I-Proposition. Wenn also alle Hunde Säugetiere sind, ist es auch wahr, dass einige Hunde Säugetiere sind.

Translating Ordinary Sentences into Standard Form

Gewöhnliche Sätze in die Standardform übersetzen

The rest of the episode addresses translation: rendering everyday sentences into standard categorical form, with all four parts clearly distinguished. There are no rigid rules; the guiding principle is to translate the meaning, not the words, by first asking what the sentence actually states.

Der Rest der Folge behandelt die Übersetzung: alltägliche Sätze in die kategoriale Standardform zu bringen, mit allen vier klar unterschiedenen Teilen. Es gibt keine starren Regeln; der Leitgrundsatz ist, die Bedeutung zu übersetzen, nicht die Wörter, indem man zuerst fragt, was der Satz tatsächlich aussagt.

Singular subjects. A proper noun names a class of one, so it takes the quantifier all: "Bill went to the store" becomes "All Bill...". The whole class (Bill) is the subject.

Singuläre Subjekte. Ein Eigenname bezeichnet eine Klasse von einem, also nimmt er den Quantor alle: „Bill ging zum Laden" wird zu „Alle Bill …". Die ganze Klasse (Bill) ist das Subjekt.

Missing copula or extra phrases. Standard form requires the verb to be; other verbs must be rewritten, and prepositional phrases or adjectives need a generic noun of the intended class added. "All Bill went to the store" becomes "All (Bill) is (a person who went to the store)." Di Donato suggests compartmentalizing the four parts, using parentheses, and replacing long terms with single-letter placeholders.

Fehlende Kopula oder zusätzliche Wendungen. Die Standardform erfordert das Verb sein; andere Verben müssen umgeschrieben werden, und Präpositionalphrasen oder Adjektive brauchen ein hinzugefügtes Gattungsnomen der gemeinten Klasse. „Alle Bill ging zum Laden" wird zu „Alle (Bill) sind (eine Person, die zum Laden ging)". Di Donato schlägt vor, die vier Teile abzugrenzen, Klammern zu verwenden und lange Terme durch Einzelbuchstaben-Platzhalter zu ersetzen.

Words that signal quantity. Words such as anyone, everyone, whoever, a, the, or not must be replaced with the only acceptable quantifiers: all, some, and no. "Anyone without hair is bald" becomes "All people without hair are people who are bald."

Wörter, die Quantität signalisieren. Wörter wie jeder, jedermann, wer auch immer, ein, der/die/das oder nicht müssen durch die einzig zulässigen Quantoren ersetzt werden: alle, einige und kein. „Jeder ohne Haare ist kahl" wird zu „Alle Menschen ohne Haare sind Menschen, die kahl sind".

Judgment calls. "The dolphin is an aquatic mammal" most likely refers to the whole class: "All dolphins are aquatic mammals." But "The morning paper was soaked by the rain" probably refers to a single paper: "Some morning papers were papers soaked by the rain."

Ermessensfälle. „Der Delfin ist ein Wassersäugetier" bezieht sich höchstwahrscheinlich auf die ganze Klasse: „Alle Delfine sind Wassersäugetiere". Aber „Die Morgenzeitung wurde vom Regen durchnässt" bezieht sich wahrscheinlich auf eine einzelne Zeitung: „Einige Morgenzeitungen waren Zeitungen, die vom Regen durchnässt wurden".

The ambiguous "all are not." "All dogs are not black" looks like an E proposition ("No dogs are black"), but the speaker usually means not all dogs are black. So it becomes the particular negative "Some dogs are not black." The construction all S is not P often means some S is not P.

Das mehrdeutige „alle sind nicht". „Alle Hunde sind nicht schwarz" sieht wie eine E-Proposition aus („Keine Hunde sind schwarz"), aber der Sprecher meint gewöhnlich, nicht alle Hunde sind schwarz. Also wird daraus die partikulär verneinende Aussage „Einige Hunde sind nicht schwarz". Die Konstruktion alle S sind nicht P bedeutet oft einige S sind nicht P.

Exclusive propositions (using only or none but) translate into A propositions in two steps: add the quantifier all while dropping the exclusive word, then reverse subject and predicate. "None but animals are veterinary patients" becomes "All veterinary patients are animals." An exception arises when only is preceded by the definite article the: "The only person in the pool is Tom" must preserve the meaning that no one else is present, giving "All persons in the pool are persons identical with Tom." The test is whether the translation is logically equivalent to the original (can one be true while the other is false?).

Exklusive Propositionen (mit nur oder niemand außer) übersetzen sich in A-Propositionen in zwei Schritten: den Quantor alle hinzufügen und dabei das ausschließende Wort weglassen, dann Subjekt und Prädikat vertauschen. „Niemand außer Tieren sind Veterinärpatienten" wird zu „Alle Veterinärpatienten sind Tiere". Eine Ausnahme entsteht, wenn nur dem bestimmten Artikel der/die/das folgt: „Die einzige Person im Pool ist Tom" muss die Bedeutung bewahren, dass niemand sonst anwesend ist, was „Alle Personen im Pool sind Personen, die mit Tom identisch sind" ergibt. Der Test ist, ob die Übersetzung mit dem Original logisch äquivalent ist (kann das eine wahr sein, während das andere falsch ist?).

Negative propositions denying an entire class are E types: "Dogs are not humans" becomes "No dogs are humans," moving the negation into the quantifier position.

Verneinende Propositionen, die eine ganze Klasse verneinen, sind E-Typen: „Hunde sind keine Menschen" wird zu „Keine Hunde sind Menschen", wobei die Verneinung an die Position des Quantors rückt.

Exceptive propositions (signaled by except) contain two claims at once. "All police officers except those wearing gas masks passed out from the gas" splits into a universal affirmative ("All non-gas-mask-wearing officers are officers who passed out from the gas") and a universal negative ("No gas-mask-wearing officers are officers who passed out from the gas"). Di Donato uses the prefix non- to mark the relevant subclasses, previewing term complements for the next episode.

Ausnehmende Propositionen (signalisiert durch außer) enthalten zwei Behauptungen zugleich. „Alle Polizisten außer denen mit Gasmasken wurden vom Gas ohnmächtig" spaltet sich in eine universell bejahende („Alle Polizisten ohne Gasmaske sind Polizisten, die vom Gas ohnmächtig wurden") und eine universell verneinende („Keine Polizisten mit Gasmaske sind Polizisten, die vom Gas ohnmächtig wurden"). Di Donato verwendet die Vorsilbe Nicht-, um die relevanten Unterklassen zu markieren, und deutet die Termkomplemente für die nächste Folge an.

Takeaway

Die zentrale Erkenntnis

Logic is a language of its own, and translation is an essential skill. When no simple rule applies, always determine what the statement means and translate that meaning. The next episode continues categorical logic with the square of opposition and immediate inference.

Die Logik ist eine Sprache für sich, und die Übersetzung ist eine wesentliche Fähigkeit. Wenn keine einfache Regel gilt, bestimme immer, was die Aussage bedeutet, und übersetze diese Bedeutung. Die nächste Folge setzt die kategoriale Logik mit dem logischen Quadrat und der unmittelbaren Folgerung fort.

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