26. Categorical Logic - The Basics

 

Summary

Résumé

This episode opens the study of categorical logic, the oldest branch of formal logic, reaching back to Aristotle and the ancient Greeks. Like mathematics, deductive logic must be built from the ground up: you cannot test the validity of a categorical syllogism before mastering its building blocks.

Cet épisode ouvre l’étude de la logique catégorique, la plus ancienne branche de la logique formelle, qui remonte à Aristote et aux Grecs anciens. Comme les mathématiques, la logique déductive doit se construire à partir de la base : on ne peut pas tester la validité d’un syllogisme catégorique avant d’en maîtriser les éléments constitutifs.

Categorical Propositions and the Four Types

Les propositions catégoriques et les quatre types

Categorical propositions are the building blocks of the syllogism. They are statements about relationships among classes (categories) of things, affirming or denying that one class is wholly or partially included in another. Because a proposition can either affirm or deny (quality) and do so wholly or partially (quantity), there are exactly four subtypes:

Les propositions catégoriques sont les éléments constitutifs du syllogisme. Ce sont des énoncés portant sur les relations entre classes (catégories) de choses : elles affirment ou nient qu’une classe soit incluse en tout ou en partie dans une autre. Comme une proposition peut affirmer ou nier (la qualité) et le faire en tout ou en partie (la quantité), il existe exactement quatre sous-types :

• A – universal affirmative ("All dogs are mammals")
• E – universal negative ("No dogs are cats")
• I – particular affirmative ("Some dogs are wolves")
• O – particular negative ("Some dogs are not wolves")

• A – universelle affirmative (« Tous les chiens sont des mammifères »)
• E – universelle négative (« Aucun chien n’est un chat »)
• I – particulière affirmative (« Quelques chiens sont des loups »)
• O – particulière négative (« Quelques chiens ne sont pas des loups »)

Medieval logicians drew these letters from the Latin words affirmo ("I affirm," giving A and I) and nego ("I deny," giving E and O).

Les logiciens médiévaux ont tiré ces lettres des mots latins affirmo (« j’affirme », d’où A et I) et nego (« je nie », d’où E et O).

The Four Parts of a Proposition

Les quatre parties d’une proposition

Propositions themselves break down into four more fundamental parts:

Les propositions se décomposent elles-mêmes en quatre parties plus fondamentales :

1. The subject term — what the assertion is about (in "All dogs are mammals," dogs).
2. The predicate term — what is asserted about the subject (mammals).
3. The copula — the verb joining subject and predicate, which in logic is always a form of to be (is/are, is not/are not, in any tense). The copula determines quality.
4. The quantifier — the word indicating extent: all or some. It determines quantity. In a universal negative, the word no stands in for both the quantifier all and the negative part of the copula.

1. Le terme sujet — ce sur quoi porte l’assertion (dans « Tous les chiens sont des mammifères », chiens).
2. Le terme prédicat — ce qui est affirmé du sujet (mammifères).
3. La copule — le verbe qui joint le sujet au prédicat et qui, en logique, est toujours une forme du verbe être (est/sont, n’est pas/ne sont pas, à n’importe quel temps). La copule détermine la qualité.
4. Le quantificateur — le mot qui indique l’extension : tous ou quelques. Il détermine la quantité. Dans une universelle négative, le mot aucun tient lieu à la fois du quantificateur tous et de la part négative de la copule.

Every categorical proposition therefore has both quality (affirmative or negative, the only two options) and quantity (universal, the whole class, or particular, some portion of the class).

Toute proposition catégorique possède donc à la fois une qualité (affirmative ou négative, les deux seules possibilités) et une quantité (universelle, la classe entière, ou particulière, une partie de la classe).

Euler Circles

Les cercles d’Euler

The relationships between subject and predicate can be pictured with Euler circles, named after the 18th-century mathematician Leonhard Euler. There are only five possible diagrams:

On peut figurer les relations entre sujet et prédicat au moyen des cercles d’Euler, du nom du mathématicien du XVIIIe siècle Leonhard Euler. Il n’existe que cinq diagrammes possibles :

• A ("All A is B") uses two diagrams: A and B coinciding completely, or A entirely contained within B.
• I ("Some A is B") can be shown in four ways: the two A-diagrams plus partial overlap (resembling a Venn diagram) and B contained within A.
• E ("No A is B") uses a fifth diagram: two wholly separate circles.
• O ("Some A is not B") is already covered by diagrams three through five.

• A (« Tout A est B ») en utilise deux : A et B coïncidant entièrement, ou A entièrement contenu dans B.
• I (« Quelque A est B ») peut se figurer de quatre façons : les deux diagrammes de A, plus un recouvrement partiel (qui ressemble à un diagramme de Venn) et B contenu dans A.
• E (« Aucun A n’est B ») utilise un cinquième diagramme : deux cercles entièrement disjoints.
• O (« Quelque A n’est pas B ») est déjà couvert par les diagrammes trois à cinq.

A key insight: because some can mean any amount up to and including all, the same diagrams that illustrate an A proposition also illustrate an I proposition. Thus if all dogs are mammals, it is also true that some dogs are mammals.

Une remarque essentielle : comme quelques peut signifier n’importe quelle quantité jusqu’à la totalité incluse, les diagrammes qui illustrent une proposition A illustrent également une proposition I. Ainsi, si tous les chiens sont des mammifères, il est également vrai que quelques chiens sont des mammifères.

Translating Ordinary Sentences into Standard Form

Traduire les phrases ordinaires en forme canonique

The rest of the episode addresses translation: rendering everyday sentences into standard categorical form, with all four parts clearly distinguished. There are no rigid rules; the guiding principle is to translate the meaning, not the words, by first asking what the sentence actually states.

Le reste de l’épisode traite de la traduction : rendre les phrases de tous les jours en forme catégorique canonique, où les quatre parties se distinguent clairement. Il n’existe pas de règles rigides ; le principe directeur est de traduire le sens, non les mots, en se demandant d’abord ce que la phrase énonce réellement.

Singular subjects. A proper noun names a class of one, so it takes the quantifier all: "Bill went to the store" becomes "All Bill...". The whole class (Bill) is the subject.

Les sujets singuliers. Un nom propre désigne une classe à un seul membre : il prend donc le quantificateur tous. « Bill est allé au magasin » devient « Tout Bill… ». La classe entière (Bill) est le sujet.

Missing copula or extra phrases. Standard form requires the verb to be; other verbs must be rewritten, and prepositional phrases or adjectives need a generic noun of the intended class added. "All Bill went to the store" becomes "All (Bill) is (a person who went to the store)." Di Donato suggests compartmentalizing the four parts, using parentheses, and replacing long terms with single-letter placeholders.

Copule absente ou compléments surnuméraires. La forme canonique exige le verbe être ; les autres verbes doivent être réécrits, et il faut adjoindre aux groupes prépositionnels ou aux adjectifs un nom générique de la classe visée. « Tout Bill est allé au magasin » devient « Tout (Bill) est (une personne qui est allée au magasin) ». Di Donato suggère de cloisonner les quatre parties, d’utiliser des parenthèses et de remplacer les termes longs par des lettres.

Words that signal quantity. Words such as anyone, everyone, whoever, a, the, or not must be replaced with the only acceptable quantifiers: all, some, and no. "Anyone without hair is bald" becomes "All people without hair are people who are bald."

Les mots qui signalent la quantité. Des mots comme quiconque, tout le monde, celui qui, un, le ou ne… pas doivent être remplacés par les seuls quantificateurs admis : tous, quelques et aucun. « Quiconque n’a pas de cheveux est chauve » devient « Toutes les personnes sans cheveux sont des personnes chauves ».

Judgment calls. "The dolphin is an aquatic mammal" most likely refers to the whole class: "All dolphins are aquatic mammals." But "The morning paper was soaked by the rain" probably refers to a single paper: "Some morning papers were papers soaked by the rain."

Les cas de jugement. « Le dauphin est un mammifère aquatique » vise très probablement la classe entière : « Tous les dauphins sont des mammifères aquatiques ». Mais « Le journal du matin a été trempé par la pluie » se rapporte sans doute à un exemplaire unique : « Quelques journaux du matin sont des journaux qui ont été trempés par la pluie ».

The ambiguous "all are not." "All dogs are not black" looks like an E proposition ("No dogs are black"), but the speaker usually means not all dogs are black. So it becomes the particular negative "Some dogs are not black." The construction all S is not P often means some S is not P.

L’ambiguïté de « tous… ne sont pas ». « Tous les chiens ne sont pas noirs » a l’air d’une proposition E (« Aucun chien n’est noir »), alors que le locuteur veut en général dire que tous les chiens ne sont pas noirs, c’est-à-dire que certains ne le sont pas. On obtient donc la particulière négative « Quelques chiens ne sont pas noirs ». La construction tout S n’est pas P signifie souvent quelque S n’est pas P.

Exclusive propositions (using only or none but) translate into A propositions in two steps: add the quantifier all while dropping the exclusive word, then reverse subject and predicate. "None but animals are veterinary patients" becomes "All veterinary patients are animals." An exception arises when only is preceded by the definite article the: "The only person in the pool is Tom" must preserve the meaning that no one else is present, giving "All persons in the pool are persons identical with Tom." The test is whether the translation is logically equivalent to the original (can one be true while the other is false?).

Les propositions exclusives (avec seul ou nul autre que) se traduisent en propositions A en deux temps : ajouter le quantificateur tous en supprimant le mot exclusif, puis intervertir sujet et prédicat. « Nuls autres que des animaux ne sont des patients vétérinaires » devient « Tous les patients vétérinaires sont des animaux ». Une exception apparaît lorsque seul est précédé de l’article défini : « La seule personne dans la piscine est Tom » doit conserver l’idée que personne d’autre ne s’y trouve, ce qui donne « Toutes les personnes dans la piscine sont des personnes identiques à Tom ». Le test consiste à vérifier que la traduction est logiquement équivalente à l’original (l’une peut-elle être vraie pendant que l’autre est fausse ?).

Negative propositions denying an entire class are E types: "Dogs are not humans" becomes "No dogs are humans," moving the negation into the quantifier position.

Les propositions négatives qui nient une classe entière sont de type E : « Les chiens ne sont pas des humains » devient « Aucun chien n’est un humain », la négation passant à la place du quantificateur.

Exceptive propositions (signaled by except) contain two claims at once. "All police officers except those wearing gas masks passed out from the gas" splits into a universal affirmative ("All non-gas-mask-wearing officers are officers who passed out from the gas") and a universal negative ("No gas-mask-wearing officers are officers who passed out from the gas"). Di Donato uses the prefix non- to mark the relevant subclasses, previewing term complements for the next episode.

Les propositions exceptives (signalées par sauf) contiennent deux affirmations à la fois. « Tous les policiers sauf ceux qui portaient un masque à gaz se sont évanouis à cause du gaz » se scinde en une universelle affirmative (« Tous les policiers ne portant pas de masque à gaz sont des policiers qui se sont évanouis à cause du gaz ») et une universelle négative (« Aucun policier portant un masque à gaz n’est un policier qui s’est évanoui à cause du gaz »). Di Donato emploie le préfixe non- pour marquer les sous-classes concernées, annonçant les compléments de termes du prochain épisode.

Takeaway

À retenir

Logic is a language of its own, and translation is an essential skill. When no simple rule applies, always determine what the statement means and translate that meaning. The next episode continues categorical logic with the square of opposition and immediate inference.

La logique est une langue à part entière, et la traduction en est une compétence essentielle. Lorsque aucune règle simple ne s’applique, déterminez toujours ce que l’énoncé signifie et traduisez ce sens. L’épisode suivant poursuit la logique catégorique avec le carré des oppositions et l’inférence immédiate.