27. Categorical Logic - Square of Opposition & Immediate Inference

 

Summary

Résumé

Building on the previous episode about categorical propositions, this video introduces two related tools: the square of opposition (a diagram) and immediate inference (the deductions we can draw with it). Together they let us judge the truth value of related propositions and transform statements into logically equivalent ones, skills that become essential once we start analyzing arguments.

Dans le prolongement de l’épisode précédent sur les propositions catégoriques, cette vidéo présente deux outils liés : le carré des oppositions (un diagramme) et l’inférence immédiate (les déductions qu’il permet). Ensemble, ils permettent de juger la valeur de vérité de propositions apparentées et de transformer des énoncés en énoncés logiquement équivalents, compétences qui deviennent indispensables dès que l’on entreprend d’analyser des arguments.

The Square of Opposition

Le carré des oppositions

The square is a balanced, symmetrical diagram whose four corners hold the four types of categorical proposition: A, E, I, O (read left to right, top to bottom). The two dimensions of the square encode the two features of a proposition:

Le carré est un diagramme équilibré et symétrique dont les quatre sommets portent les quatre types de propositions catégoriques : A, E, I, O (de gauche à droite, de haut en bas). Les deux dimensions du carré codent les deux caractères d’une proposition :

• Altitude (top vs. bottom) marks quantity. Universals (A, E) sit on top; particulars (I, O) sit at the base.
• Side (left vs. right) marks quality. Affirmatives (A, I) sit on the left; negatives (E, O) on the right.

• La hauteur (haut/bas) marque la quantité. Les universelles (A, E) occupent le haut ; les particulières (I, O), le bas.
• Le côté (gauche/droite) marque la qualité. Les affirmatives (A, I) sont à gauche ; les négatives (E, O), à droite.

All relationships assume the propositions share the same subject and predicate terms. The arrows between the corners represent four kinds of relationship.

Toutes les relations supposent que les propositions partagent les mêmes termes sujet et prédicat. Les flèches entre les sommets représentent quatre sortes de relations.

The Four Relationships

Les quatre relations

Contradictories (A↔O and E↔I) rest on the law of non-contradiction. A pair must have opposite truth values: they cannot both be true and cannot both be false. The truth of one implies the falsity of the other, and vice versa. This is the strongest link, and it always lets us infer the partner's truth value.

Les contradictoires (A↔O et E↔I) reposent sur le principe de non-contradiction. Une telle paire doit avoir des valeurs de vérité opposées : les deux ne peuvent être vraies ensemble ni fausses ensemble. La vérité de l’une implique la fausseté de l’autre, et réciproquement. C’est le lien le plus fort, et il permet toujours d’inférer la valeur de vérité de la partenaire.

Contraries (A and E) cannot both be true, but they can both be false. So the truth of one implies the falsehood of the other, while the falsity of one tells us nothing. (Di Donato's example: belief systems treated as conjunctions of propositions: two systems can both be false, each containing a different false belief.)

Les contraires (A et E) ne peuvent être vraies toutes deux, mais peuvent être fausses toutes deux. La vérité de l’une implique donc la fausseté de l’autre, tandis que la fausseté de l’une ne nous apprend rien. (Exemple de Di Donato : des systèmes de croyances traités comme des conjonctions de propositions ; deux systèmes peuvent être faux tous les deux, chacun comportant une croyance fausse différente.)

Subcontraries (I and O) are the mirror image: they cannot both be false, but they can both be true. The falsity of one implies the truth of the other, yet the truth of one tells us nothing about the other.

Les subcontraires (I et O) en sont l’image inversée : elles ne peuvent être fausses toutes deux, mais peuvent être vraies toutes deux. La fausseté de l’une implique la vérité de l’autre, tandis que la vérité de l’une ne dit rien de l’autre.

Alternation (subalternation) runs vertically between a superaltern (the universal above) and a subaltern (the particular below): A↔I and E↔O.

La subalternation court verticalement entre une subalternante (l’universelle du haut) et une subalterne (la particulière du bas) : A↔I et E↔O.

• Superalternation: the truth of the upper implies the truth of the lower, but the falsity of the upper implies nothing.
• Subalternation: the falsity of the lower implies the falsity of the upper, but the truth of the lower implies nothing.

• De haut en bas : la vérité de la supérieure implique la vérité de l’inférieure, mais la fausseté de la supérieure n’implique rien.
• De bas en haut : la fausseté de l’inférieure implique la fausseté de la supérieure, mais la vérité de l’inférieure n’implique rien.

Immediate Inference

L’inférence immédiate

Immediate inference means drawing a conclusion from a single premise without the mediation of any other premise. Knowing the truth value of one proposition, the square lets us judge the other three, within limits. If "All dragons are extinct" (A) is true, then E is false (contraries), I is true (subalternation), and O is false (contradictory).

L’inférence immédiate consiste à tirer une conclusion d’une seule prémisse, sans la médiation d’aucune autre. Connaissant la valeur de vérité d’une proposition, le carré permet de juger les trois autres, dans certaines limites. Si « Tous les dragons sont éteints » (A) est vraie, alors E est fausse (contraires), I est vraie (subalternation) et O est fausse (contradictoire).

But the square also has gaps. From a false E proposition we can infer its contradictory I is true, yet A and O remain unknown: the falsity of a contrary determines nothing, and superimplication and subalternation both fail to reach them. Some corners simply cannot be deduced from certain starting points.

Mais le carré comporte aussi des lacunes. D’une proposition E fausse, nous pouvons inférer que sa contradictoire I est vraie, mais A et O demeurent indéterminées : la fausseté d’une contraire ne détermine rien, et ni la subalternation descendante ni la subalternation ascendante ne permettent de les atteindre. Certains sommets ne peuvent tout simplement pas être déduits à partir de certains points de départ.

Logical Equivalence and the Three Transformations

L’équivalence logique et les trois transformations

Two propositions are logically equivalent if and only if they always share both the same truth value and the same meaning. (This is stronger than material implication, which guarantees only matching truth values.) A transformation yields a new statement, but it expresses the same proposition, since a proposition is the meaning, not the statement. Each transformation is itself a form of immediate inference. There are three:

Deux propositions sont logiquement équivalentes si et seulement si elles ont toujours à la fois la même valeur de vérité et le même sens. (C’est plus fort que l’implication matérielle, qui ne garantit que la concordance des valeurs de vérité.) Une transformation produit un nouvel énoncé, mais il exprime la même proposition, puisqu’une proposition est le sens et non l’énoncé. Chaque transformation est elle-même une forme d’inférence immédiate. Il y en a trois :

Conversion simply swaps the subject and predicate terms. It is the simplest move, but only the contradictories E and I may be converted. "No human is a fish" converts validly to "No fish is a human." Converting an A proposition fails: "All circles are geometric figures" does not equal "All geometric figures are circles."

La conversion intervertit simplement le terme sujet et le terme prédicat. C’est l’opération la plus simple, mais seules les contradictoires E et I peuvent être converties. « Aucun humain n’est un poisson » se convertit validement en « Aucun poisson n’est un humain ». Convertir une proposition A échoue : « Tous les cercles sont des figures géométriques » n’équivaut pas à « Toutes les figures géométriques sont des cercles ».

Obversion takes two steps: (1) change the quality (affirmative ↔ negative) without changing the quantity, and (2) replace the predicate with its term complement (e.g. "Italian" becomes "non-Italian"). Any of the four types can be obverted. A↔E and I↔O switch under obversion. Example: "All real pizza is Italian" obverts to "No real pizza is non-Italian."

L’obversion procède en deux temps : (1) changer la qualité (affirmative ↔ négative) sans changer la quantité, et (2) remplacer le prédicat par son complément de terme (« italien » devient « non-italien »). Les quatre types peuvent être obvertis. A↔E et I↔O s’échangent par obversion. Exemple : « Toute vraie pizza est italienne » s’obvertit en « Aucune vraie pizza n’est non-italienne ».

Contraposition also takes two steps: (1) swap subject and predicate (as in conversion), and (2) replace each term with its complement. Like conversion it works on only two types, but here the other pair of contradictories, A and O. The original is the contraponend, the result the contrapositive. Example: "Some dessert is not ice cream" becomes "Some non-ice-cream is not non-dessert."

La contraposition procède elle aussi en deux temps : (1) intervertir sujet et prédicat (comme dans la conversion) et (2) remplacer chaque terme par son complément. Comme la conversion, elle ne s’applique qu’à deux types, mais ici l’autre paire de contradictoires, A et O. L’original est la contraposée de départ, le résultat la contraposée. Exemple : « Quelque dessert n’est pas une glace » devient « Quelque non-glace n’est pas un non-dessert ».

Putting It Together

Mise en pratique

The transformations can be combined with the square to reach a target statement. Di Donato works a chained example (assuming existential import so that something capable of reasoning exists): starting from a false O proposition, he contraposes it, then applies superalternation and conversion to determine the truth value of the goal statement about humans. Different routes through the square yield the same result. The takeaway is that mastery comes through practice. The next episode turns to categorical syllogisms.

On peut combiner les transformations avec le carré pour atteindre un énoncé visé. Di Donato déroule un exemple enchaîné (en supposant l’import existentiel, c’est-à-dire l’existence de quelque chose capable de raisonner) : partant d’une proposition O fausse, il la contrapose, puis applique la subalternation descendante et la conversion pour déterminer la valeur de vérité de l’énoncé visé au sujet des humains. Des itinéraires différents à travers le carré donnent le même résultat. À retenir : la maîtrise vient de la pratique. L’épisode suivant aborde les syllogismes catégoriques.