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Cette page a été traduite de l'original allemand, en partie par une machine. Certaines formulations peuvent être maladroites ou inexactes. En cas de doute, veuillez consulter l'original.

29. Propositional Logic - Symbolese

 

Summary​

Résumé

After several episodes on categorical logic, this video circles back to a different family of propositions: truth-functional or propositional logic. Like categorical logic, it is concerned with the form or structure of arguments rather than their content. To capture that structure as clearly as possible, propositional logic uses its own artificial language, which Di Donato playfully calls Symbolese, reassuring viewers that it is far easier to learn than Latin.

Après plusieurs épisodes consacrés à la logique catégorique, cette vidéo revient à une autre famille de propositions : la logique vérifonctionnelle ou propositionnelle. Comme la logique catégorique, elle s’intéresse à la forme ou à la structure des arguments plutôt qu’à leur contenu. Pour saisir cette structure le plus clairement possible, la logique propositionnelle recourt à sa propre langue artificielle, que Di Donato baptise plaisamment le symbolais, en assurant aux spectateurs qu’elle s’apprend bien plus facilement que le latin.

Statements as Building Blocks​

Les énoncés comme éléments constitutifs

Whereas the fundamental elements of categorical logic were terms (subject, predicate, middle), the fundamental elements of propositional logic are statements or propositions, hence the name. Statements can be simple (also called atomic), such as "fast foods tend to be unhealthy," or compound, such as "Chuck Berry plays the guitar and Fats Domino plays the piano," which joins two atomic statements with the operator and.

Là où les éléments fondamentaux de la logique catégorique étaient les termes (sujet, prédicat, moyen terme), ceux de la logique propositionnelle sont les énoncés ou propositions, d’où son nom. Les énoncés peuvent être simples (on dit aussi atomiques), comme « la restauration rapide tend à être mauvaise pour la santé », ou composés, comme « Chuck Berry joue de la guitare et Fats Domino joue du piano », qui joint deux énoncés atomiques par l’opérateur et.

The label truth-functional captures the key idea: the truth value of a compound proposition depends entirely on the truth values of its component parts. The conjunction above is true only if both atomic statements are true. As always, the focus is on validity, a property of form rather than content. Form does not guarantee truth, but it preserves truth as long as we start with true premises. By representing only statement forms and argument forms, symbolic logic makes formal relationships visible and removes confusion caused by the wording of a proposition.

Le qualificatif vérifonctionnel en dit l’idée maîtresse : la valeur de vérité d’une proposition composée dépend entièrement des valeurs de vérité de ses composantes. La conjonction ci-dessus n’est vraie que si les deux énoncés atomiques sont vrais. Comme toujours, l’attention porte sur la validité, propriété de la forme et non du contenu. La forme ne garantit pas la vérité, mais elle la conserve pourvu que l’on parte de prémisses vraies. En ne représentant que des formes d’énoncés et des formes d’arguments, la logique symbolique rend visibles les relations formelles et écarte la confusion née de la formulation d’une proposition.

The Vocabulary of Symbolese​

Le vocabulaire du symbolais

The language has several kinds of symbols:

Cette langue comporte plusieurs sortes de symboles :

  • Statement variables: lowercase letters p through z stand for any proposition and are used to build general statement forms (e.g., p · q). Substituting specific content gives a substitution instance.
  • Statement abbreviations: uppercase letters A through Z abbreviate specific propositions. "I am Batman" can become B, no matter how long or complex the original sentence is.
  • The conclusion indicator (the tri-dot, which Di Donato calls the "Predator sight") translates as therefore or so.
  • Les variables d’énoncé : les minuscules p à z tiennent lieu de n’importe quelle proposition et servent à bâtir des formes d’énoncés générales (par exemple p · q). En y substituant un contenu déterminé, on obtient une instance de substitution.
  • Les abréviations d’énoncés : les majuscules A à Z abrègent des propositions déterminées. « Je suis Batman » peut devenir B, si longue et complexe que soit la phrase d’origine.
  • L’indicateur de conclusion (les trois points, que Di Donato appelle le « viseur du Predator ») se traduit par donc ou par conséquent.

The Operators​

Les opérateurs

Operators connect or modify statements and determine the overall truth value:

Les opérateurs relient ou modifient des énoncés et déterminent la valeur de vérité de l’ensemble :

  • Negation (the tilde, ~) means not or "it is not the case that," reversing the truth value of a proposition.
  • The hypothetical or conditional (horseshoe ⊃ or arrow →) translates if p then q and expresses material implication.
  • The disjunction (the wedge ∨) joins disjuncts to express either p or q.
  • The conjunction (the dot · or ampersand &) joins conjuncts to express both p and q.
  • The biconditional (the tri-bar ≡ or double-sided arrow ↔) expresses material equivalence, p if and only if q.
  • Brackets (parentheses) are essential for removing ambiguity in compound statements with several operators.
  • La négation (le tilde, ~) signifie non ou « il n’est pas le cas que », et inverse la valeur de vérité d’une proposition.
  • L’hypothétique ou conditionnel (le fer à cheval ⊃ ou la flèche →) traduit si p alors q et exprime l’implication matérielle.
  • La disjonction (le coin ∨) joint des disjoints pour exprimer p ou q.
  • La conjonction (le point · ou l’esperluette &) joint des conjoints pour exprimer à la fois p et q.
  • Le biconditionnel (la triple barre ≡ ou la double flèche ↔) exprime l’équivalence matérielle, p si et seulement si q.
  • Les parenthèses sont indispensables pour lever l’ambiguïté des énoncés composés comportant plusieurs opérateurs.

How Each Operator Behaves​

Le comportement de chaque opérateur

Each operator has its own truth conditions:

Chaque opérateur a ses propres conditions de vérité :

  • A hypothetical is always true except when the antecedent is true and the consequent is false.
  • A disjunction is true as long as at least one disjunct is true; it is false only when both are false.
  • A conjunction is true only when both conjuncts are true.
  • A biconditional is true only when both components share the same truth value.
  • Une hypothétique est toujours vraie sauf lorsque l’antécédent est vrai et le conséquent faux.
  • Une disjonction est vraie dès qu’au moins un disjoint est vrai ; elle n’est fausse que si les deux le sont.
  • Une conjonction n’est vraie que si les deux conjoints sont vrais.
  • Un biconditionnel n’est vrai que si les deux composantes ont la même valeur de vérité.

Di Donato also notes that some compound propositions are not truth-functional. With connectives like because, believes that, or hopes that, the truth of the whole is not fixed by the truth of the parts. "Joe failed because he didn't turn in his homework" requires a genuine causal link, and "Joe believed the sun revolves around the earth" is true so long as Joe holds that belief, regardless of whether the belief itself is true.

Di Donato note aussi que certaines propositions composées ne sont pas vérifonctionnelles. Avec des connecteurs comme parce que, croit que ou espère que, la vérité du tout n’est pas fixée par celle des parties. « Joe a échoué parce qu’il n’a pas rendu ses devoirs » suppose un lien causal réel, et « Joe croyait que le Soleil tourne autour de la Terre » est vrai tant que Joe entretient cette croyance, que celle-ci soit vraie ou non.

Translating English into Symbolese​

Traduire le français en symbolais

A large part of the lesson is learning which English words signal which operator. For hypotheticals, the word if introduces the antecedent and then the consequent. The tricky phrase only if points instead to the consequent, so "p only if q" is p ⊃ q. A necessary condition is the consequent; a sufficient condition is the antecedent. Phrases like implies, entails, given that, provided that, and on the condition that all point to the antecedent, while is implied by or is entailed by point to the consequent.

Une bonne part de la leçon consiste à apprendre quels mots de la langue courante signalent quel opérateur. Pour les hypothétiques, le mot si introduit l’antécédent et alors le conséquent. La locution piégeuse seulement si désigne au contraire le conséquent : « p seulement si q » s’écrit donc p ⊃ q. Une condition nécessaire est le conséquent ; une condition suffisante est l’antécédent. Des expressions comme implique, entraîne, étant donné que, pourvu que et à la condition que désignent toutes l’antécédent, tandis que est impliqué par ou est entraîné par désignent le conséquent.

For disjunctions, watch for either…or, plain or, and the counter-intuitive unless ("p unless q" equals p ∨ q). Conjunctions are signaled not only by and and both…and but also by although, but, even though, however, nevertheless, and yet. The biconditional appears as if and only if, a necessary and sufficient condition, and just in case.

Pour les disjonctions, guettez ou bien… ou bien, le simple ou et le contre-intuitif à moins que (« p à moins que q » équivaut à p ∨ q). Les conjonctions ne sont pas signalées seulement par et et à la fois… et, mais aussi par bien que, mais, quoique, cependant, néanmoins et pourtant. Le biconditionnel apparaît sous les formes si et seulement si, une condition nécessaire et suffisante et dans le seul cas où.

Worked Examples​

Exemples travaillés

Di Donato closes with practice translations:

Di Donato termine par des exercices de traduction :

  • "The ringing of the bell is sufficient for the dog to start salivating" → R ⊃ D (the sufficient item is the antecedent).
  • "Mark watches TV unless Jim goes to the bank" → M ∨ J.
  • "It's not the case that both Sean and Deirdre are dancers" → ~(S · D).
  • "Neither Bill nor Jeff play football" → ~(B ∨ J), a negated disjunction.
  • "Jules likes pizza even though Luigi likes lasagna just in case either Moshe likes mozzarella or Henry likes Limburger" → (J · L) ≡ (M ∨ H), showing how brackets keep complex forms clear.
  • « La sonnerie de la cloche est suffisante pour que le chien se mette à saliver » → R ⊃ D (l’élément suffisant est l’antécédent).
  • « Mark regarde la télévision à moins que Jim n’aille à la banque » → M ∨ J.
  • « Il n’est pas le cas que Sean et Deirdre soient tous deux danseurs » → ~(S · D).
  • « Ni Bill ni Jeff ne jouent au football » → ~(B ∨ J), une disjonction niée.
  • « Jules aime la pizza bien que Luigi aime les lasagnes, dans le seul cas où Moshe aime la mozzarella ou Henry aime le limbourg » → (J · L) ≡ (M ∨ H), qui montre comment les parenthèses maintiennent la clarté des formes complexes.

The episode ends by previewing the next topic: using these elements to examine the different types of syllogisms built from these propositions.

L’épisode s’achève en annonçant le sujet suivant : l’emploi de ces éléments pour examiner les différents types de syllogismes bâtis à partir de ces propositions.